Veber, sicer univerzitetni diplomirani inženir gradbeništva, se je rodil 30. julija 1960 v Ljubljani, z družino pa živi v Kočevju. Osnovno šolo je obiskoval v domačem v Predgradu in v Starem trgu ob Kolpi, šolanje nadaljeval v Ljubljani na Srednji gradbeni tehniški šoli ter diplomiral na hidrotehnični smeri Fakultete za arhitekturo, gradbeništvo in geodezijo na Univerzi v Ljubljani.
Po diplomi se je iz Ljubljane preselil v Kočevje, kjer je kot strokovnjak na področju hidrotehnike iskal ustrezno zaposlitev. Najprej je delal na občini, po šestih mesecih pa se je zaposlil kot vodja razvoja v podjetju Hydrovod Kočevje-Ribnica, ki je odgovorno za oskrbo s pitno vodo. Leta 1990 je postal tudi direktor tega medobčinskega podjetja. Oskrba s pitno vodo je že od nekdaj Vebrov izziv, med drugim je tudi uvedel dezinfekcijo vode z UV žarki. Podjetje je vodil šest let.
V domačem Kočevju je bil za župana prvič izvoljen leta 1994, nato pa še na treh naslednjih županskih volitvah. Medtem je bil leta 1996 prvič izvoljen tudi za poslanca DZ. Leto pred sprejetjem zakonske nezdružljivosti županske in poslanske funkcije pa ga je na županskih volitvah v Kočevju v drugem krogu premagal Vladimir Prebilič. Leta 2011 pa so mu volivci na parlamentarnih volitvah zaupali peti zaporedni mandat poslanca.
V dosedanjih mandatih je bil član parlamentarnega odbora za kmetijstvo, gozdarstvo in prehrano, odbora za okolje in prostor ter odbora za promet, ki ga je v prejšnjem mandatu tudi vodil. Kot podpredsednik je sodeloval je tudi v preiskovalni komisije glede gradnje avtocest.
V začetku sedanjega mandata so ga poslanci SD soglasno potrdili za vodjo poslanske skupine, Veber pa je med drugim tudi član ustavne in mandatno-volilne komisije.
